De vetores a planos – guia completo com notas de calculadora
0 • Pontos de referência
Usaremos:
\[ A(3,4,1),\; B(9,3,-1),\; C(0,2,5),\; D(1,1,3). \]1 • Gerando os vetores \(\mathbf{AB},\mathbf{AC},\mathbf{AD}\)
| Vetor | Cálculo | Resultado |
|---|---|---|
| \(\mathbf{AB}\) | \(B-A=(9-3,\,3-4,\,-1-1)\) | \((6,\,-1,\,-2)\) |
| \(\mathbf{AC}\) | \(C-A=(0-3,\,2-4,\,5-1)\) | \((-3,\,-2,\,4)\) |
| \(\mathbf{AD}\) | \(D-A=(1-3,\,1-4,\,3-1)\) | \((-2,\,-3,\,2)\) |
Exercícios típicos: encontrar a reta que une dois pontos; testar se três pontos são colineares (se dois dos vetores forem paralelos); ou construir dois vetores diretores para definir um plano.
2 • Ângulo entre \(\mathbf{AB}\) e \(\mathbf{AC}\)
2.1 Fórmula-chave
\[ \cos\theta=\frac{\mathbf{AB}\cdot\mathbf{AC}} {\lVert\mathbf{AB}\rVert\,\lVert\mathbf{AC}\rVert}, \qquad \theta=\arccos(\cos\theta). \]2.2 Cálculo manual
| Cálculo | Valor |
|---|---|
| Produto escalar | \(6(-3)+(-1)(-2)+(-2)4=-24\) |
| Normas | \(\lVert\mathbf{AB}\rVert=\sqrt{41}\approx6{,}40,\; \lVert\mathbf{AC}\rVert=\sqrt{29}\approx5{,}39\) |
| \(\cos\theta\) | \(-24/(\sqrt{41}\sqrt{29})\approx-0{,}695\) |
| \(\theta\) | \(\arccos(-0{,}695)\approx133{,}9^{\circ}\) |
6*-3 + -1*-2 + -2*4 = → −24
2 ) sqrt(41) * sqrt(29) = → 34.55
3 ) (-24) ÷ 34.55 = → −0.695
4 ) acos (modo DEG) → 133.9°.Exercícios típicos: verificar perpendicularidade ( cos θ = 0 ), obter o ângulo entre duas arestas de um poliedro ou decidir se um triângulo é obtuso/agudo.
3 • Volume via produto misto
3.1 O que é o produto misto?
\(\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\) é o determinante \(\begin{vmatrix}u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\\w_x&w_y&w_z\end{vmatrix}\). Seu módulo é o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.
3.2 Determinante (i, j, k)
Usando a base \(\{\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\}\):
\[ \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ -3 & -2 & 4\\ -2 & -3 & 2 \end{vmatrix} =(8,\,-2,\,5). \]3.3 Produto misto & volume
| Etapa | Valor |
|---|---|
| \(\mathbf{AC}\times\mathbf{AD}\) | \((8,\,-2,\,5)\) |
| \(\mathbf{AB}\cdot(\cdots)\) | \(6\cdot8+(-1)(-2)+(-2)5=40\) |
| Volume | \(|40|=40\) u³ |
Exercícios típicos: demonstrar coplanaridade (volume = 0), calcular a capacidade de um prisma ou o volume de um tetraedro definido por quatro vértices.
4 • Plano \(\pi\) que contém B, C, D
4.1 Vetores diretores e normal
\[ \mathbf{BC}=C-B=(-9,-1,6),\; \mathbf{BD}=D-B=(-8,-2,4). \] \[ \mathbf n=\mathbf{BC}\times\mathbf{BD}=(8,\,-12,\,10). \] \(\mathbf n\) é perpendicular ao plano: o vetor normal.Exercícios típicos: encontrar o plano de uma face de poliedro, checar se um ponto está no plano usando \(\mathbf n\).
4.2 Equações do plano
| Tipo | Expressão |
|---|---|
| Vetorial | \(\displaystyle \mathbf r(s,t)=B+s\,\mathbf{BC}+t\,\mathbf{BD}\) |
| Geral \(ax+by+cz+d=0\) |
Com \(\mathbf n=(8,-12,10)\) e ponto B: \(8(x-9)-12(y-3)+10(z+1)=0\) \(\Longrightarrow \boxed{8x-12y+10z-26=0}\). |
Exercícios típicos: “Verifique se P (…) pertence a π”, “Determine a reta interseção de dois planos”.
5 • Reta perpendicular ao plano passando por A
- Ponto conhecido: \(A(3,4,1)\).
- Vetor diretor: qualquer múltiplo de \(\mathbf n\); usaremos \((8,-12,10)\).
| Vetorial | Paramétrica |
|---|---|
| \(\displaystyle\ell(\lambda)=A+\lambda(8,-12,10)\) | \(\begin{cases} x=3+8\lambda\\ y=4-12\lambda\\ z=1+10\lambda \end{cases}\) |
Exercícios típicos: projetar A ortogonalmente sobre o plano, calcular a distância de A a π, ou encontrar a reta normal em problemas de geometria analítica.
6 • Checklist rápido ― como lembrar “no papel-rascunho”
- Ângulo entre vetores
- Vetores → dot, módulos.
- \(\cos\theta=\dfrac{u\cdot v}{|u||v|}\) → acos.
- Volume
- Det 3×3 ou \(u·(v×w)\).
- |det| = paralelepípedo; ÷ 6 = tetraedro.
- Plano
- Diretores = diferenças de pontos.
- Normal = produto vetorial.
- Geral \(ax+by+cz+d=0\).
- Reta ⟂ plano
- Ponto + normal ⇒ vetor diretor.
- Escreva vetorial ou paramétrica.