Como Esboçar o Gráfico do Limite de uma Função (por partes)

Como Esboçar o Gráfico do Limite de uma Função

Função por partes:

f(x) =
  2 - x            se x < -1
  x                se -1 ≤ x < 1
  (x - 1)²         se x ≥ 1

✅ Passo a Passo

1 – Monte a tabela de valores para cada trecho

Use valores antes, sobre e depois dos pontos de troca (ex: x = -1 e x = 1):

Trecho 1: f(x) = 2 − x     (para x < -1)
x Expressão y
-3 2 – (-3) 5
-2 2 – (-2) 4
-1.1 2 – (-1.1) 3.1
Trecho 2: f(x) = x     (para -1 ≤ x < 1)
x Expressão y
-1 -1 -1
0 0 0
0.9 0.9 0.9
Trecho 3: f(x) = (x − 1)²     (para x ≥ 1)
x Expressão y
1 (1 – 1)² 0
1.1 (1.1 – 1)² 0.01
2 (2 – 1)² 1

Dica:
Para saber se o ponto é aberto (○) ou fechado (●) no gráfico, observe os sinais de cada condição nos trechos da função:

  • O ponto será fechado (●) se (usando ≤ ou ≥).
  • O ponto será aberto (○) se nenhum dos trechos da função inclui o valor exato de x, ou se apenas um deles exclui esse valor (com < ou >).

Por exemplo:

  • Se um trecho é definido por x < 1 → o ponto em x = 1 será aberto.
  • Se outro trecho é definido por x ≥ 1 → o ponto em x = 1 será fechado, mas apenas nesse trecho.

⚠️ Se dois trechos se encontram no mesmo ponto (ex: um com x < a e outro com x ≥ a), desenhe o ponto fechado apenas se f(x) estiver definido ali. O outro lado será representado pela curva se aproximando do ponto, mas sem marcá-lo.

2 – Observe as tendências

  • 2 - x: decrescente
  • x: crescente
  • (x - 1)²: parábola crescente a partir de x = 1

3 – Identifique descontinuidades

  • x = -1: salto, pois os limites laterais são diferentes (3 e -1)
  • x = 1: salto, pois os limites laterais são diferentes (1 e 0)
  • Sem assíntotas (não há divisão por zero nem explosão para infinito)

4 – Esboce o gráfico

  • Use pontos ● (fechados) e ○ (abertos) conforme a condição
  • Indique pontos relevantes com linhas de referência pontilhadas, se necessário
  • Mostre a aproximação lateral com curvas e setas suaves

5 – Escreva a análise formal

O limite de f(x) não existe nos pontos x = -1 e x = 1, pois os limites laterais são diferentes (há salto).
A função é contínua em todos os demais valores de x.

📌 Termos importantes

  • Buraco: o limite existe, mas o ponto não está definido (ponto aberto com tendência clara)
  • Salto: os limites laterais são diferentes (há descontinuidade abrupta)
  • Assíntota vertical: quando a função tende a infinito devido a divisão por zero com numerador ≠ 0
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