Matriz de Fórmulas – Juros Compostos e Descontos

Descrição	Fórmula
1. Tempo (n) meses ou períodos	\[ n = \frac{\log\left(\frac{FV}{PV}\right)}{\log(1+i)} \]
2. Taxa equivalente anual (composta)	\[ i_a = \left( (1 + i_m)^{12} – 1 \right) \cdot 100 \]
3. Taxa (i) ao mês ou ao período	\[ i = \left( \frac{FV}{PV} \right)^{\frac{1}{n}} – 1 \]
4. Valor Futuro (FV) juros compostos	\[ FV = PV \cdot (1 + i)^n \]
5. Valor Presente (PV) juros compostos	\[ PV = \frac{FV}{(1 + i)^n} \]
6. Valor Presente (PV) desconto por fora (simples)	\[ PV = FV \cdot (1 – i \cdot n) \]

Matriz de Fórmulas – Avaliação de Investimentos

Descrição	Fórmula
1. Valor Presente (PV) juros compostos, a partir de um valor futuro FV	\[ PV = \frac{FV}{(1 + i)^n} \]
2. Tempo de payback descontado (n) – forma fechada (com log) anuidade com valor presente PV, pagamento periódico PMT e taxa i	\[ n = -\,\frac{\log\left(1 – \dfrac{PV \cdot i}{PMT}\right)}{\log(1+i)} \]
3. Tempo de payback descontado (N) – método pela somatória soma dos fluxos descontados (PMT) até que o valor presente acumulado atinja PV	\[ \sum_{t=1}^{N} \frac{PMT}{(1+i)^t} \ge PV \] \[ PV_{\text{acum}}(N) = \frac{PMT}{(1+i)^1} + \frac{PMT}{(1+i)^2} + \frac{PMT}{(1+i)^3} + \cdots + \frac{PMT}{(1+i)^N} \] Na prática, calcula-se termo a termo (ano 1, ano 2, ano 3, …) até encontrar o primeiro N em que \(PV_{\text{acum}}(N) \ge PV\). Esse N é o payback descontado.
4. Valor Presente Líquido (VPL) – fluxo constante (anuidade) investimento inicial PV, recebimentos periódicos PMT, taxa i e vida econômica n	\[ VPL = -PV + PMT \cdot \frac{1 – (1+i)^{-n}}{i} \] Se \(VPL \ge 0\), o investimento é considerado viável na taxa i.
5. Custo Anual Equivalente (CAE) a partir do valor presente total \(PV_{\text{total}}\) de todos os custos, para taxa i e vida econômica n	Primeiro, calcula-se o valor presente total dos custos: \[ PV_{\text{total}} = PV_{\text{aquisição}} + PV_{\text{custos anuais}} – PV_{\text{valor residual}} \] Em seguida, obtém-se o custo anual equivalente (prestação anual): \[ CAE = PV_{\text{total}} \cdot \frac{i}{1 – (1+i)^{-n}} \]
6. TIR para fluxo em 2 períodos (FC₀, FC₁, FC₂) fluxo de caixa: \(FC_0 = -PV\), \(FC_1 = F_1\), \(FC_2 = F_2\)	Equação do VPL: \[ -PV + \frac{F_1}{(1+i)} + \frac{F_2}{(1+i)^2} = 0 \] Substituindo \(x = 1+i\), obtém-se: \[ PV \cdot x^2 – F_1 \cdot x – F_2 = 0 \] \[ x = \frac{F_1 + \sqrt{F_1^2 + 4 \cdot PV \cdot F_2}}{2 \cdot PV} \quad\Rightarrow\quad i = x – 1 \] \[ i = \frac{F_1 + \sqrt{F_1^2 + 4 \cdot PV \cdot F_2}}{2 \cdot PV} – 1 \]