Guia passo a passo — Derivadas em Cálculo I
0. Conceito de derivada
A derivada em um ponto mede a taxa de variação instantânea de uma função e a inclinação da reta tangente naquele ponto:
\[
f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.
\]
Exemplo: \(f(x)=x^{2}\) em \(x_0=3\):
\[ f'(3)=\lim_{h\to 0}\frac{(3+h)^2-3^2}{h}=6. \]1. Derivando funções — dicas práticas
- Identifique o tipo da função (potência, produto, quociente, composta etc.).
- Escolha a regra apropriada (potência, produto, cadeia…).
- Simplifique o resultado, observando o domínio.
Exemplo: \(f(x)=3x^{3}-5x+1\).
- Termos separados → regra da potência.
- \[ f'(x)=9x^{2}-5. \]
2. Equação da reta tangente
Para encontrar a reta tangente no ponto \((x_0,\,y_0)\):
- Calcule a inclinação \(m=f'(x_0)\).
- Calcule \(y_0=f(x_0)\).
- Use a forma ponto‑inclinação: \(y-y_0=m(x-x_0)\).
- (Opcional) isole \(y\) para a forma \(y=mx+b\).
Exemplo: \(f(x)=3x^{3}-5x+1\) em \(x_0=1\).
\[ m=f'(1)=4,\quad y_0=f(1)=-1\quad\Longrightarrow\quad y+1=4(x-1)\;\Rightarrow\;y=4x-5. \]3. Derivação implícita — passo a passo detalhado
Quando \(y\) está misturado com \(x\) na mesma equação, tratamos \(y\) como função de \(x\) e aplicamos a regra da cadeia a todo termo que contenha \(y\).
- Diferencie termo a termo em relação a \(x\). Para cada função \(y(x)\) aplique: \(\dfrac{d}{dx}[y^{n}]=n y^{n-1}\dfrac{dy}{dx}\).
- Reúna todos os termos que contêm \(\dfrac{dy}{dx}\) em um lado da igualdade.
- Fatore e isole \(\dfrac{dy}{dx}\).
Exemplo: \(x^{2}+y^{2}=25\).
- Derivando: \(2x + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0\).
- Reunindo \(dy/dx\): \(2y\dfrac{dy}{dx} = -2x\).
- Isole: \(\displaystyle\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}.\)
4. Pontos críticos, intervalos de crescimento e extremos
Passos gerais:
- Derive: encontre \(f'(x)\).
- Resolva \(f'(x)=0\) → pontos críticos.
- Construa uma tabela de sinais de \(f'(x)\) para os intervalos formados pelos pontos críticos.
- Faça a leitura:
- \(f'(x)>0\) → função cresce.
- \(f'(x)<0\) → função decresce.
- Classifique:
- Se \(f'(x)\) muda de − para + → mínimo local.
- Se \(f'(x)\) muda de + para − → máximo local.
Exemplo: \(f(x)=-x^{3}-2x^{2}+4x-1\).
1. Derivada: \(f'(x)=-3x^{2}-4x+4\).
2. Zeros de \(f'(x)\) (Bhaskara): \(x=-2\) e \(x=\tfrac23\).
3. Tabela de sinais:
- \(( -\infty,-2)\): \(f'(x)<0\) → decrescente.
- \((-2,\tfrac23)\): \(f'(x)>0\) → crescente.
- \((\tfrac23,\infty)\): \(f'(x)<0\) → decrescente.
4. Conclusão:
- Mínimo local em \((-2,-9)\) (troca de − para +).
- Máximo local em \(\bigl(\tfrac23,\tfrac{13}{27}\bigr)\) (troca de + para −).
💡 Bloco de Revisão Rápida
- Bhaskara (equação do 2º grau):
Para \(ax^{2}+bx+c=0\):
\[x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.\] - Reta tangente em \(x_0\):
Procedimento:
\(m=f'(x_0)\) → \(y_0=f(x_0)\) → \(y-y_0=m(x-x_0)\). - Derivação implícita:
Procedimento:
(i) Diferencie cada termo (cadeia sobre \(y\)).
(ii) Agrupe \(dy/dx\).
(iii) Isole \(dy/dx\). - Extremos locais:
(i) Resolva \(f'(x)=0\).
(ii) Analise o sinal de \(f'(x)\) ou use \(f”(x)\).
(iii) Identifique máximo (\(f”<0\)) ou mínimo (\(f''>0\)).
- Fúrmula Resolutiva de Equações Quadráticas:
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.\) - Reta tangente em \(x_0\):
\(m=f'(x_0)\) → \(y_0=f(x_0)\) → \(y-y_0=m(x-x_0)\). - Derivação implícita:
(1) Diferencie cada termo (cadeia sobre \(y\)).
(2) Agrupe \(dy/dx\).
(3) Isole \(dy/dx\). - Extremos locais:
(1) Resolva \(f'(x)=0\).
(2) Analise o sinal de \(f'(x)\) ou use \(f”(x)\).
(3) Identifique máximo (\(f”<0\)) ou mínimo (\(f''>0\)).