Guia passo a passo – Retas no Espaço (ℝ³)
0 • Pontos que geram as retas
| Pontos da reta \(R\) | Pontos da reta \(S\) |
|---|---|
| \(A(1,\,2,\,3)\) \(B(3,\,1,\,7)\) |
\(C(3,\,-1,\,0)\) \(D(4,\,2,\,2)\) |
| Dois pontos distintos determinam uma reta única. | |
1 • Obtendo o vetor diretor
| Reta \(R\) | Reta \(S\) |
|---|---|
| \[ \mathbf v_R=\overrightarrow{AB}=B-A =(3-1,\,1-2,\,7-3) =(2,\,-1,\,4) \] | \[ \mathbf v_S=\overrightarrow{CD}=D-C =(4-3,\,2-(-1),\,2-0) =(1,\,3,\,2) \] |
|
Qualquer múltiplo não-nulo de \(\mathbf v\) serve como vetor diretor. • Usaremos os vetores para decidir paralelismo e interseção. | |
2 • Formas da equação da reta
| Vetorial – reta \(R\) | Vetorial – reta \(S\) |
|---|---|
| \(\displaystyle\mathbf r(t)=A+t\,\mathbf v_R=(1,2,3)+t\,\underbrace{(2,-1,4)}_{\mathbf v_R}\) | \(\displaystyle\mathbf s(u)=C+u\,\mathbf v_S=(3,-1,0)+u\,\underbrace{(1,3,2)}_{\mathbf v_S}\) |
| Forma padrão “ponto de apoio + parâmetro × vetor diretor”. | |
| Paramétrica – reta \(R\) | Paramétrica – reta \(S\) |
|---|---|
| \(\begin{cases} x = 1 + 2t\\ y = 2 – t\\ z = 3 + 4t \end{cases}\) | \(\begin{cases} x = 3 + u\\ y = -1 + 3u\\ z = 0 + 2u \end{cases}\) |
| Excelente para verificar pertinência de ponto e montar sistemas de interseção. | |
| Simétrica – reta \(R\) | Simétrica – reta \(S\) |
|---|---|
| \(\displaystyle \frac{x-1}{2}= \frac{\,y-2\,}{-1}= \frac{\,z-3\,}{4} \) | \(\displaystyle \frac{x-3}{1}= \frac{\,y+1\,}{3}= \frac{\,z\,}{2} \) |
| Recurso visual para comparar inclinações ou eliminar o parâmetro em provas. | |
☑️ Caso especial: coeficiente nulo em uma coordenada
Quando a equação paramétrica traz uma coordenada constante, ex.:
\[ \bigl\{x = 3,\; y = 2 + 4\beta,\; z = 5\beta\bigr\}, \]o termo “escondido” é interpretado como coeficiente 0 do parâmetro:
\[ x = 3 + 0\cdot\beta. \]- Ponto de apoio: parte sem \(\beta\) ⇒ \((3,\,2,\,0)\).
- Vetor diretor: coeficientes de \(\beta\) ⇒ \((0,\,4,\,5)\).
Essa “popularização” evita perder uma dimensão na análise de paralelismo ou interseção.
3 • Teste de pertinência – passo a passo linha a linha
| Ponto testado | Reta \(R\) | Reta \(S\) |
|---|---|---|
| \(P_1(5,\,0,\,11)\) | \[ \begin{aligned} 1+2t &= 5 &&\Rightarrow t = 2\\ 2-t &= 0 &&\Rightarrow 0 = 0\;\checkmark\\ 3+4t &= 11 &&\Rightarrow 11 = 11\;\checkmark \end{aligned} \] | \[ \begin{aligned} 3+u &= 5 &&\Rightarrow u = 2\\ -1+3u &= 0 &&\Rightarrow 5 \neq 0\;\text{✖}\\ 2u &= 11 &&\Rightarrow 4 \neq 11\;\text{✖} \end{aligned} \] |
|
Existe um único parâmetro que satisfaz todas as coordenadas em \(R\); falha em qualquer linha implica que o ponto não pertence à reta. |
||
| \(P_2(5,\,5,\,4)\) | \[ \begin{aligned} 1+2t &= 5 &&\Rightarrow t = 2\\ 2-t &= 5 &&\Rightarrow 0 \neq 5\;\text{✖} \end{aligned} \] Inconsistência ⇒ ponto fora de \(R\). | \[ \begin{aligned} 3+u &= 5 &&\Rightarrow u = 2\\ -1+3u &= 5 &&\Rightarrow 5\;\checkmark\\ 2u &= 4 &&\Rightarrow 4\;\checkmark \end{aligned} \] |
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A lógica é sempre a mesma: isole o parâmetro em uma coordenada e verifique nas demais. Se os três testes forem bem-sucedidos, o ponto pertence à reta. |
||
4 • Classificando a posição relativa de \(R\) e \(S\)
| Critério | Resultado (R × S) | Comentário prático |
|---|---|---|
| Vetores proporcionais? | Não | Não podem ser paralelas nem coincidentes. |
| Existe solução comum do sistema \(R(t)=S(u)\)? | Não | Retas não se interceptam. |
| Conclusão | Reversas (skew) | Não coplanares, distância mínima > 0. • Aplicação: problemas de distância e ângulo requerem produto vetorial entre diretores. |
5 • Checklist relâmpago para qualquer exercício
- Vetor diretor: subtraia pontos ou leia coeficientes (complete zeros se faltar).
- Monte a forma vetorial: ponto de apoio + parâmetro·vetor.
- Paramétrica linha-a-linha: facilita pertinência e interseção.
- Pertinência: mesmo parâmetro resolve as 3 coordenadas.
- Paralelismo: diretores proporcionais.
- Interseção: sistema 3×3 tem solução.
- Reversas: não paralelas & sistema sem solução.