Geometria Analítica – Referência de Estudos
Retas e Planos em ℝ³
Lenda de símbolos principais
- λ, α, β – parâmetros escalares (números reais) que “deslizam” ao longo da reta ou do plano.
- AB ⃗, v⃗, n⃗ – vetores (seta indica direção e sentido).
- v⃗ – vetor diretor de uma reta.
- n⃗ – vetor normal a um plano (perpendicular ao plano).
- π – plano; r, s – retas.
1 · O que pode cair na prova?
- Gerar equações de retas (vetorial, paramétrica, simétrica) a partir de pontos e vetores.
- Gerar equações de planos (geral, vetorial, paramétrica) a partir de ponto + vetor normal ou três pontos.
- Testar se um ponto pertence a uma reta ou a um plano.
- Determinar posição relativa de retas (paralelas, concorrentes, reversas) ou reta×plano (secante, paralela, contida).
2 · Raciocínio de resolução
- Mapear dados → identifique pontos e vetores fornecidos.
- Escolher representação mais conveniente (vetorial, paramétrica ou geral).
- Montar equações com as fórmulas da seção 3.
- Resolver (sistemas, produtos vetoriais, produtos mistos).
- Prova real (usando testes do item 4) antes de finalizar.
3 · Fórmulas essenciais
3.1 Retas
- Vetor diretor: $$\vec v=\overrightarrow{AB}=B-A=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A).$$
- Equação vetorial: $$\mathbf W=\mathbf A+\lambda\vec v,\qquad\lambda\in\mathbb R.$$
- Equações paramétricas: $$\begin{cases} x=x_A+\lambda v_x \\ y=y_A+\lambda v_y \\ z=z_A+\lambda v_z \end{cases}$$
- Equação simétrica (se \(v_x,v_y,v_z\neq0\)): $$\displaystyle\frac{x-x_A}{v_x}=\frac{y-y_A}{v_y}=\frac{z-z_A}{v_z}.$$
3.2 Planos
- Equação geral (ponto + vetor normal): $$\pi:\; ax+by+cz+d=0,\quad d=-(ax_0+by_0+cz_0).$$
- Vetor normal por três pontos: $$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.$$
- Equação vetorial / paramétrica: $$\mathbf W=\mathbf A+\alpha\vec u+\beta\vec v,\qquad\alpha,\beta\in\mathbb R.$$
3.3 Teste reta × plano
Substitua as paramétricas da reta na equação geral do plano e resolva em λ.- Sem solução → paralela e fora.
- Identidade (0=0) → reta contida.
- λ único → ponto de interseção.
3.4 Posição relativa entre duas retas
- Paralelas se \(\vec v_r=\gamma\vec v_s\).
- Concorrentes se não são paralelas e existe ponto comum.
- Reversas se não são paralelas nem concorrentes (produto misto \(\overrightarrow{AB}\cdot(\vec v_r\times\vec v_s)\neq0\)).
4 · Prova real (checagem rápida)
| Situação | Como conferir |
|---|---|
| Ponto ∈ reta | Encontrar único \(\lambda\) que satisfaça as 3 paramétricas. |
| Ponto ∈ plano | Substituir em \(ax+by+cz+d\) e verificar se resulta 0. |
| Reta × plano | Resolver \(\lambda\); usar coordenadas obtidas para validar no plano. |
| Retas paralelas | Comparar razões \(v_{rx}:v_{sx}\), \(v_{ry}:v_{sy}\), \(v_{rz}:v_{sz}\). |
| Retas reversas | Produto misto \(\neq0\). |
5 · Exemplos numéricos de posição relativa
| Tipo | Equações | Justificativa |
|---|---|---|
| Paralelas |
\(r:\;(x,y,z)=(0,0,0)+\lambda(1,2,3)\) \(s:\;(x,y,z)=(1,0,-1)+\mu(2,4,6)\) |
\((2,4,6)=2\,(1,2,3)\) → direções proporcionais, nenhum ponto comum. |
| Concorrentes |
\(r:\;(x,y,z)=(1,2,3)+\lambda(1,0,-1)\) \(s:\;(x,y,z)=(2,3,2)+\mu(-1,1,1)\) |
Para \(\mu=-1\) temos o ponto comum \(P(3,2,1)\). |
| Reversas |
\(r:\;(x,y,z)=(1,2,3)+\lambda(2,3,6)\) \(s:\;\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+4}{1}=\dfrac{z}{2}\) |
Vetores não proporcionais; sistema para ponto comum é impossível; produto misto \(\neq0\). |
6 · Resolução comentada – 1ª Lista de Exercícios
Q1.
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- Dados A(3,4,1) C(0,2,5) E(2,−4,−5) B(9,3,−1) D(1,1,3)
- a) Reta r passando por A e C
Vetor diretor: \(\vec v = C-A = (-3,-2,4)\) Vetorial: \(\mathbf W=(3,4,1)+\lambda(-3,-2,4)\) Paramétricas: \[ \begin{cases} x = 3-3\lambda\\ y = 4-2\lambda\\ z = 1+4\lambda \end{cases} \] - b) E ∈ r? De \(x=2\Rightarrow\lambda=\tfrac13\); porém \(y=4-2\lambda=-4\Rightarrow\lambda=4\). Valores diferentes → E não pertence.
- c) Plano π passando por B, D, E
\(\overrightarrow{BD}=(-8,-2,4)\) \(\overrightarrow{BE}=(-7,-7,-4)\) \(\vec n=\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{BE}=(6,-10,7)\) Equação geral: \(6x-10y+7z-17=0\). - d) Vetor normal \(\vec n=(6,-10,7)\) (perpendicular ao plano).
- e) Interseção r × π Substituindo as paramétricas de r em π: \[ 6(3-3\lambda)-10(4-2\lambda)+7(1+4\lambda)-17=0 \] \(\lambda=\dfrac{16}{15}\). Ponto de interseção \(P\bigl(-\tfrac15,\tfrac{28}{15},\tfrac{79}{15}\bigr).\)
Q2.
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- Pontos A(1,1,3), B(4,2,0), C(3,6,1). Vector candidato \(\vec w=(5,-1,-2)\).
- a) \(\vec w\) é normal? \(\overrightarrow{AB}=(3,1,-3)\); \(\vec w\cdot\overrightarrow{AB}=20\neq0\). Não é ortogonal → não é vetor normal.
- b) Plano π por A,B,C
\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1,0,1)\). Equação geral: \(x+z-4=0\).
Q3.
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- Dados A(−1,5,8); \(\vec u=(1,2,5)\); \(\vec v=(−2,3,1)\).
- a) Normal \(\vec n=\vec u\times\vec v=(-13,-11,7)\).
- b) Plano π
\(13x+11y-7z+14=0\). - c) Reta perpendicular \(W=(-1,5,8)+\lambda(-13,-11,7)\).
- d) D(0,1,2) pertence? Não satisfaz equação da reta nem do plano.
Q4.
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a)
\(r:(1,2,3)+\alpha(2,3,6)\)
\(s:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+4}{1}=\dfrac{z}{2}\) → \(s:(1,-4,0)+t(3,1,2)\)
Vetores diretores não proporcionais.
Produto misto ≠ 0 → retas reversas (não coplanares).
b)
\(r:(1,2,0)+\lambda(1,0,6)\)
\(s:(3,-1,2)+\beta(5,-1,4)\)
Sistema para ponto comum é impossível e produto misto ≠ 0.
Também reversas.
7 · Checklist pré-prova
- ❏ Vetores diretores/normais corretos?
- ❏ Sinais conferidos nas equações?
- ❏ Prova real executada?
- ❏ Posição relativa claramente indicada?